選んだ箱を変えるかどうか？NHK「笑わない数学」（確率論）

 9月21日（水）夜11時NHK総合「笑わない数学」を見た。

お笑いの尾形貴弘が大真面目で数学の難問をとりあげる30分の知的エンタメ番組だ。

そこで、確率論が話題として取り上げられた。そこに面白い設問が出された。

１　視聴者の前に3つの箱（A,B,C）が出された。その中の一つに宝（金のインゴット）が入っている。

２　まず視聴者に宝の入っていると思われる箱を選択してもらう。選択した箱はAとする。箱は開けない。

３　尾形は宝の箱の入っている箱を知っていて、宝の入っていない箱を開ける。（宝がAに入っている場合は、BまたはCを、宝がBに入っている場合はCを、宝がCに入っている場合はBを開ける。）

４　尾形は、「選んだままでもいいけど、残っている（未開示の）箱に変えてもいいですよ」という。

さて、あなたは変えますか、そのまま変えないですか。

というものだが、どうするのが良いか？

直感的にはどちらにしても3分の1の確率なので同じだから、変えないでおくという人が多いのではないか？

実際は、変えた方が宝のある箱を当てる確率は良いという。

番組では実際に100回実験を繰り返して試してみたようだ。そして、その結果、変えた方が変えないよりも倍の3分の2の確立に近い数字になった。

私はこれを実際にやるのではなく、Excelの表でやってみた。以下のようなものだ。リストが大きくなるので、20回やった時のもので説明する。

宝（金）のある箱は1としておく。視聴者が選択する箱はランダムに１，２，３のいずれかの数字を発生させた。開けるか箱（削除する箱）は視聴者が1あるいは２を選んだ場合は３を、3を選んだ場合は２とした。

その結果、変更せずに勝ったケースは、この表では6回だ。従って、負けた回数は14回になる。

この表を見ていると、なんとなく、変えた方が確率が高いというのに気づくはずだ。

番組では以下のような図を使って説明していた。

視聴者が選択する箱はAとしておく。

上の段は宝（金）がAに入っていた場合で、これは変えない方が良いケースだ。

中の段は宝（金）がBに入っていた場合で、これは変えた方が良いケースだ。

下の段は宝（金）がCに入っていた場合で、これは変えた方が良いケースだ。

視聴者が選択した箱がAでなく、BやCであっても同じ話になる。

つまり、変えた方が当たる確率は3分の2で、変えない方の確率は3分の1になる。